Radice di due‎ > ‎

Terne Pitagoriche infinite

Tre numeri naturali sono una terna pitagorica se il quadrato di uno di essi è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Come nel triangolo rettangolo in cui quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti i2 = c12+c22 nel caso particolare in cui i, c1 e c2 sono numeri naturali. Una tavoletta di argilla indica che i babilonesi erano già a conoscenza di terne come 5, 4, 3 e 13, 12, 5, un migliaio di anni prima di Pitagora.

52  = 42 + 32

132  = 122 + 52

da cui

25 = 16 + 9

169 = 144 + 25

E' facile dimostrare che le terne pitagoriche sono infinite, per farlo prendiamo due numeri naturali qualunque q e p con p maggiore di q, e dimostriamo che i tre numeri

p2 - q2              2 · p · q                       p2 + q2 

formano una terna pitagorica: la somma del quadrato dei primi due è uguale al quadrato del terzo.

Primo                     Secondo                Terzo
termine                  termine                  termine

 (p2 - q2) 2   +   (2 · p · q)2  =   (p2 + q2) 2         Tesi

Se lo dimostriamo abbiamo dimostrato che le terne pitagoriche sono infinite essendo infiniti i numeri p e q su cui costruirle. Sviluppiamo il primo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:

(a - b)2  = (a - b) · (a - b)  = a2 - a·b - a·b + b2  =  a2 -2·a·b + b2

Dunque il primo termine è:

(p2 - q2) 2 = p4 -2·p2·q2 + q4

Il secondo termine è:

(2 · p · q)2  = 4 · p2 · q2 

La somma del primo e del secondo termine è:

p4 -2·p2·q2 + q4 + 4·p2·q2 

sommando -2·p2·q2  a 4·p2·q2  si ottiene 2·p2·q2, dunque la somma del primo e del secondo termine è:   

p4 + 2·p2·q2 + q4 

Sviluppiamo il terzo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 +a·b + a·b + b2 =  a2 +2·a·b + b2

Dunque il terzo termine è:

(p2 + q2) 2 = p4 +2·p2·q2 + q4     Tesi verificata

proprio uguale alla somma del primo e del secondo termine della terna.