Tre numeri naturali sono una terna pitagorica se il quadrato di uno di essi è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Come nel triangolo rettangolo in cui quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti i² = c₁²+c₂² nel caso particolare in cui i, c₁ e c₂ sono numeri naturali. Una tavoletta di argilla indica che i babilonesi erano già a conoscenza di terne come 5, 4, 3 e 13, 12, 5, un migliaio di anni prima di Pitagora.

5²  = 4² + 3²

13²  = 12² + 5²

da cui

25 = 16 + 9

169 = 144 + 25

E' facile dimostrare che le terne pitagoriche sono infinite, per farlo prendiamo due numeri naturali qualunque q e p con p maggiore di q, e dimostriamo che i tre numeri

p² - q²              2 · p · q                       p² + q² 

formano una terna pitagorica: la somma del quadrato dei primi due è uguale al quadrato del terzo.

Primo                     Secondo                Terzo
termine                  termine                  termine

 (p² - q²) ²   +   (2 · p · q)²  =   (p² + q²) ²         Tesi

Se lo dimostriamo abbiamo dimostrato che le terne pitagoriche sono infinite essendo infiniti i numeri p e q su cui costruirle. Sviluppiamo il primo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:

(a - b)²  = (a - b) · (a - b)  = a² - a·b - a·b + b²  =  a² -2·a·b + b²

Dunque il primo termine è:

(p² - q²) ² = p⁴ -2·p²·q² + q⁴

Il secondo termine è:

(2 · p · q)²  = 4 · p² · q² 

La somma del primo e del secondo termine è:

p⁴ -2·p²·q² + q⁴ + 4·p²·q² 

sommando -2·p²·q²  a 4·p²·q²  si ottiene 2·p²·q², dunque la somma del primo e del secondo termine è:   

p⁴ + 2·p²·q² + q⁴ 

Sviluppiamo il terzo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² +a·b + a·b + b² =  a² +2·a·b + b²

Dunque il terzo termine è:

(p² + q²) ² = p⁴ +2·p²·q² + q⁴     Tesi verificata

proprio uguale alla somma del primo e del secondo termine della terna.