Radice di due

La radice quadrata di due non è un numero razionale

“Tutto è numero…”, ma radice di due è un non-numero, "Non appartiene al pensiero".

Per dimostrare che la radice quadrata di 2 non è un numero razionale supponiamo per assurdo che lo sia, cioè che possa essere espresso come rapporto tra due numeri interi p e q, una frazione p/q.

p/q = √2 (Ipotesi per assurdo)

Per esempio non sarà per caso uguale a 5/4, dove p è 5 e q 4? Oppure a 3/2?

Senza perdere in generalità, si può supporre che la frazione p/q sia ridotta ai minimi termini, non ulteriormente semplificabile, cioè che p e q non siano divisibili entrambi per uno stesso intero diverso da 1 con resto zero. Dunque frazioni come 20/16 sarebbero prima ridotte ai minimi termini dividendo per 4 entrambe le parti e ottenendo 5/4, da 9/6 si otterrebbe prima 3/2.

Non avendo p e q divisori comuni, non possono in particolare essere divisibili l’uno e l’altro per 2, dunque uno è pari e l’altro è dispari oppure entrambi sono dispari, dunque per ipotesi p e q non possono essere ambedue pari.

Dalla relazione p/q = √2 si ottiene p²/q²= 2 e, moltiplicando entrambi i membri per q² si ha:

p² = 2 · q²

Un numero pari elevato al quadrato restituisce sempre un numero pari e un numero dispari al quadrato sempre un numero dispari. Dall’equazione si deduce che p è pari essendo il suo quadrato uguale a un intero moltiplicato per 2. Dall’ipotesi consegue che q è dispari.

Essendo p pari lo possiamo esprimere come 2 moltiplicato per un numero intero, la sua metà, supponiamo che questa sia r.

p = 2 · r

Sostituendo nell’equazione sopra 2·r a p si ha che

(2 · r)² = 2 · q²

dunque

4 · r² = 2 · q²

Dividendo per 2 entrambi i membri

2 · r² = q²

si osserva come q è pari essendo uguale a un numero intero moltiplicato 2, il che è assurdo in quanto contraddice la nostra ipotesi: p e q non possono essere ambedue pari. Dunque non esiste nessun razionale p/q uguale a √2.

Con dimostrazioni analoghe si verifica che la radice quadrata di qualsiasi numero intero, che non sia un quadrato perfetto, come 4, 9, o 16, non è un numero razionale in quanto non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi p e q, dunque è un numero irrazionale.

P.S.

Ripetiamo il ragionamento in modo più formale, ripartendo da

p² = 2 · q²

Un semplice ragionamento ci mostra che p e q non possono essere entrambi numeri interi e quindi p/q non può essere un numero razionale. Infatti se p fosse un numero intero, il fattore 2 dovrebbe comparire oppure essere assente nella sua scomposizione in fattori primi. Se 2 è presente in p come fattore, allora in p² il fattore 2 compare un numero pari di volte (ad esempio 6 = 2∙3, 6² = 2∙2∙3∙3, cioè in 6² il fattore 2 compare due volte). Se invece 2 non è presente in p come fattore, allora non lo è nemmeno in p² (ad esempio 3² = 9 = 3∙3) Quindi p² non contiene il fattore 2 o lo contiene un numero pari di volte. Lo stesso ragionamento vale per q e q² . Ma allora 2 q² conterrà il fattore 2 un numero dispari di volte, il che rende impossibile l’eguaglianza p² = 2 q², perché p² dovrebbe contenere il fattore 2 un numero pari di volte e 2 q² un numero dispari.