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Tre numeri naturali sono una terna pitagorica se il quadrato di uno di essi è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Come nel triangolo rettangolo in cui quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti i2 = c12+c22 nel caso particolare in cui i, c1 e c2 sono numeri naturali. Una tavoletta di argilla indica che i babilonesi erano già a conoscenza di terne come 5, 4, 3 e 13, 12, 5, un migliaio di anni prima di Pitagora.
52 = 42 + 32
132 = 122 + 52
da cui
25 = 16 + 9
169 = 144 + 25
E' facile dimostrare che le terne pitagoriche sono infinite, per farlo prendiamo due numeri naturali qualunque q e p con p maggiore di q, e dimostriamo che i tre numeri
p2 - q2 2 · p · q p2 + q2
formano una terna pitagorica: la somma del quadrato dei primi due è uguale al quadrato del terzo.
Primo Secondo Terzo
termine termine termine
(p2 - q2) 2 + (2 · p · q)2 = (p2 + q2) 2 Tesi
Se lo dimostriamo abbiamo dimostrato che le terne pitagoriche sono infinite essendo infiniti i numeri p e q su cui costruirle. Sviluppiamo il primo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:
(a - b)2 = (a - b) · (a - b) = a2 - a·b - a·b + b2 = a2 -2·a·b + b2
Dunque il primo termine è:
(p2 - q2) 2 = p4 -2·p2·q2 + q4
Il secondo termine è:
(2 · p · q)2 = 4 · p2 · q2
La somma del primo e del secondo termine è:
p4 -2·p2·q2 + q4 + 4·p2·q2
sommando -2·p2·q2 a 4·p2·q2 si ottiene 2·p2·q2, dunque la somma del primo e del secondo termine è:
p4 + 2·p2·q2 + q4
Sviluppiamo il terzo termine della terna ricordando che dati due valori qualsiasi a e b:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 +a·b + a·b + b2 = a2 +2·a·b + b2
Dunque il terzo termine è:
(p2 + q2) 2 = p4 +2·p2·q2 + q4 Tesi verificata
proprio uguale alla somma del primo e del secondo termine della terna.
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